Я даже заезжал, они сказали, что у них тоже госуслуги лежат и не могут записать
Бред какой-то, мне вообще не понятно, причём тут запись на прививку и госуслуги. Я записывался по звонку, потом приходил, быстро заполнял анкету и всё. Да и госуслуги прекрасно работают, во всяком случае у меня.