Обратная задача

Группа американских математиков заявила, что им удалось решить одну из важнейших проблем сейсмологии — трехмерную обратную кинематическую задачу. Предлагаемый учеными подход позволяет восстановить внутреннюю структуру объектаXиз относительно ограниченного объема данных — известной скорости распространения волн между двумя закрепленными на его границах точками. Это математическое решение особенно важно для геофизиков, поскольку позволяет детально определить внутреннее устройство планеты, сообщает Nature News.

«Можем ли мы, не разрушаяX, выяснить, что внутри него? — задался вопросом математик из Стэнфордского университета (США) Андраш Васи, один из троих авторов открытия, представляя его на семинаре, состоявшемся в начале февраля в Университетском колледже Лондона (Великобритания). — Один из способов сделать это заключается в том, чтобы отправить волны через него». Отслеживания их свойств, считают ученые, достаточно для определения внутренней структуры объектаX. В середине февраля они, как и обещали, опубликовали свое исследование в библиотеке электронных препринтов arXiv.org.

Задача, над которой работали авторы, относится к римановой геометрии — теории искривленных пространств с любым числом измерений. Общая теория относительности Альберта Эйнштейна основана в том числе и на этой области дифференциальной геометрии. Риманова геометрия определена на пространствах, локально имеющих евклидову метрику (функция, определяющая расстояние между двумя точками; в данном случае подчиняется аксиомам Евклида, известным еще из школьного курса геометрии), переход от которых осуществляется гладким образом (поверхность в точке практически совпадает с касательной в этой же точке). Например, локально сфера имеет евклидову структуру (это видно любому человеку, находящемуся на поверхности Земли), но глобально — риманову.

Обратная кинематическая задача в математике формулируется так. «Пусть(M, g)есть риманово многообразие с краем∂M. Если известно геодезическое расстояниеdg(x, y)между любыми двумя граничными точкамих, у, можно ли определить метрикуg?» Под геодезическим расстоянием между двумя точками понимается минимальное расстояние между ними. Этот термин возник из обобщения интегрального исчисления, называемого вариационным исчислением. Например, согласно той же общей теории относительности, свободная электронейтральная массивная частица в гравитационном поле движется по геодезической линии; именно решения уравнений теории относительности и определяют явный вид такого рода траекторий.

В геофизике формулировка обратной кинематической задачи выглядит, на первый взгляд, проще и интересует ученых уже более века. «Можно ли определить внутреннюю структуру Земли (скорость звука) путем измерения времени прохождения акустических волн (землетрясений) между точками поверхности?» Гипотеза заключалась в положительном ответе на вопрос. В случае двух измерений, используя предложенный в 1981 году покойным французом Рене Мишелем метод так называемых простых метрик, задачу в 2005 году решили Леонид Пестов из Югорского научно-исследовательского института информационных технологий (Россия) и Гюнтер Ульман из Университета штата Вашингтон (США). Теперь же Пламен Стефанов из Университета Пердью (США), Ульман и Васи, по их убеждению, доказали гипотезу для случая произвольного числа измерений.

Подход ученых отличается от метода Мишеля и предполагает представление среды, в которой распространяется возмущение (сейсмическая волна) от одной точки (источника) до другой (приемника), в виде концентрических слоев. Это позволяет, как полагают математики, поэтапно строить решение. «Вы идете слой за слоем, как будто чистите лук», — говорит Ульман.

На практике это означает, что теперь не только доказано существование и единственность решения, но в распоряжении математиков есть и метод его нахождения в явном виде. Ранее ученым было известно, что кратчайшим путем для сейсмической волны между двумя точками на границе является геодезическая кривая; теперь стало ясно, что для полного определения структур в недрах планеты достаточно одного, а не нескольких прогонов возмущения между источником и приемником.

Решение обратной кинематической задачи в общем трехмерном случае особенно важно для сейсмологии. Оно позволит с гораздо более высокой точностью, чем в настоящее время, определять внутреннее строение Земли (литосферы, мантийного слоя и ядра). Как отмечает сейсмолог Маартен де Хооп из Университета Райса в Хьюстоне (США), решение обратной кинематической задачи должно привести к более глубокому пониманию природы мантийных плюмов под Исландией и Гавайскими островами, а также к открытию новых подобных геофизических образований.

Между тем, по мнению того же Хоопа, работа математиков в ближайшее время концептуально не изменит существующие в геофизике представления и подходы, поскольку новая теория предполагает изначальное наличие данных обо всех сейсмических активностях, тогда как, например, сеть GSN (Global Seismographic Network) насчитывает немногим более 150 современных сейсмических станций, разбросанных по всему миру. В ответ на это Ульман, работающий над проблемой с конца 1990-х, заявляет, что он и его коллеги разрабатывают специальные численные методы, которые позволили бы преодолеть это затруднение.

Об устройстве недр Земли геофизикам известно меньше, чем о строении поверхности Марса. Например, только недавно японские ученые в ходе лабораторных экспериментов, имитирующих условия внутри Земли, надежно установили, что третьим основным компонентом ядра планеты после железа и никеля является кремний. Так же мало геофизики знают и об устройстве мантии планеты. Совсем недавно стало известно, что в недрах мантии, на глубине от четырехсот до тысячи километров, содержатся огромные запасы воды, но до сих пор неизвестно, рассредоточена ли она в пределах всего слоя или занимает определенные локальные участки.

Поднимаясь выше, ученые сталкиваются с другой проблемой: природой и происхождением тектоники литосферных плит. Строго говоря, Земля считается единственной планетой Солнечной системы, где есть тектоника, но никто до сих пор не знает, когда и почему она возникла. Ответы на эти вопросы позволили бы отследить прошлое и будущее континентов — в частности, современный этап цикла Уилсона. Однако самой большой геофизической проблемой остается природа магнитного поля Земли. Хотя в распоряжении ученых имеется теория геодинамо, ответить на все вопросы с ее помощью пока нельзя.

Приблизиться к решению хотя бы части этих задач наверняка поможет новое открытие математиков. Авторы планируют в ближайшее время направить свое исследование для публикации в рецензируемый журнал. Публикация 2016 года, в которой ученые рассмотрели линейную часть задачи, встретила положительные отклики коллег, теперь 50-страничный документ изучают сразу несколько авторитетных экспертов.

Юрий Сухов